Historia de los logaritmos

    Los logaritmos fueron descubiertos y desarrollados entre los siglos XVI y XVII con el propósito de simplificar las engorrosas operaciones de números con muchas cifras que los astrónomos necesitaban realizar. La primera propuesta de uso de los logaritmos para el cálculo fue planteada por el escocés John Napier en 1614, en su libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. El crédito por el descubrimiento de los logaritmos como herramienta matemática útil debería pertenecer en realidad al suizo Joost Bürgi, sin embargo, puesto que Napier publicó su trabajo antes, se le atribuye el mérito del hallazgo.

    Durante la época del Giro Copernicano, comenzó a extenderse el uso de "tablas" logarítmicas entre los matemáticos, que se apoyaban en ellas para simplificar sus cálculos. Estas tablas eran en realidad extensos libros en los que se detallaban una por una las relaciones entre los elementos participantes en operaciones útiles para el cálculo con logaritmos. Este método se utilizó hasta la aparición y popularización de las calculadoras, por lo que está ahora en profundo desuso. En la actualidad, los logaritmos son utilizados sobre todo y de manera extensiva en las distintas ramas de la matemática financiera.


 
John Napier (1550-1617), principal impulsor del uso de los logaritmos 
 y padre de los logaritmos neperianos.

Problema de los plátanos, los relojes y los hexágonos

     Este problema puede ser encontrado en la séptima diapositiva de la presentación principal. Se trata del clásico problema de razonamiento y atención representado de una manera muy gráfica. En el primer caso, nos encontramos con la suma de tres hexágonos idénticos cuyo resultado es 45. Cada hexágono tiene inscritos un pentágono y un cuadrado. Deducimos entonces que el valor de cada hexágono es 15. En el segundo caso, la suma de dos ristras de 4 platános y un hexágono como los del anterior caso da 23. Sabiendo que el hexágono vale 15, sabemos que cada ristra de plátanos tiene entonces un valor de 4. En el tercer ejemplo, la ristra de plátanos más dos relojes idénticos da diez. Por lo tanto cada reloj vale 3, que coincide casualmente con la hora que dan los mismos. Sabiendo todo esto, nos encontramos con el último caso. Se trata de la suma de un reloj más dos ristras de plátanos por un hexágono. Tienen sin embargo ciertas variaciones. La hora del reloj es las dos en punto, por lo que le damos ese valor precisamente al reloj. En el caso de los plátanos, la ristra contiene ahora sólo tres plátanos, en vez de los cuatro que le atribuían dicho valor, por esto sabemos que los plátanos valen ahora tres. En último lugar, recordamos las figuras inscritas en el hexágono: un cuadrado y un pentágono. Si sumamos los lados del cuadrado, el pentágono y el hexágono, el resultado es 15, exactamente el valor numérico que le atribuíamos al principio. En el caso del hexágono de la última operación, solo tiene inscrito un pentágono, por lo que la suma de los lados de ambos polígonos es de once. Con todos estos datos y aplicando la jerarquía de las operaciones, hallamos un resultado final de 38.

Examen completo

Evaluación en caliente

   Tras haber realizado el examen del pasado miércoles y haber dispuesto un breve tiempo para reflexionar, procedo a comentar y analizar brevemente cada uno de los ejercicios de la ya mencionada prueba.
   Las preguntas teóricas del primer ejercicio fueron las primeras en ser confrontadas, pues sus enunciados, al igual que sus respuestas, aparentaban ser concisas y claras. Decidimos realizar a continuación las otras dos preguntas de este ejercicio (ambas de tipo práctico), sin embargo, en el fragor de la batalla decidimos, frente a la realidad de los escasos frutos que nuestro trabajo estaba dando, dejarlos para más tarde. En el segundo ejercicio, en un acto cargado de frustración, dejamos sin hacer el primer apartado, a pesar de reconocer que era en realidad un tipo de ejercicio asequible que sabíamos, de hecho, hacer. Fuimos, no obstante, capaces de contestar al segundo apartado de una manera más provechosa. En el tercer ejercicio, resolvimos fácilmente el primer apartado, aunque debido a presión incipiente que sentíamos por la falta de tiempo no continuamos con los siguientes apartados. Resolvimos el cuarto ejercicio de manera rápida y mordaz, por lo que me resulta difícil augurar si el resultado obtenido fue el correcto. El sexto ejercicio se presentaba como el más desafiante, lo que no impidió que nos enfrentaramos, de manera sistemática y paciente a él. Todo este esfuerzo parece, visto ahora en retrospectiva, agridulce, pues el buen planteamiento y entendimiento del problema planteado derivó en última instancia en un resultado incorrecto, probablemente fruto de un error en la operativa básica. El resto de la prueba se completó a medias y a trozos, en el mejor de los casos. Es evidente que debemos mejorar ampliamente en la preparación de los exámenes de la asignatura, en especial en el ámbito de la comunicación y la compenetración dentro de la pareja. Concluyo por ello que las sensaciones posteriores al examen son bastante pesimistas, y con razón.

Prueba 5

Prueba 4

Prueba 3

Prueba 3

El número áureo y Beethoven

El número áureo y Beethoven

   Desde que se tiene noticia de la existencia de la razón áurea, muchos han sido sus avistamientos en distintos campos de las matemáticas, la arquitectura, la biología y la música. De su desempeño en este último arte he venido a hablar hoy.
   Antes de comenzar, merece la pena acalarar de qué estamos hablando exactamente cuando hablamos del número áureo en la música, pues son numerosas las representaciones de este número. En el caso de la música, las que más se utilizan son la de "sección áurea" y "sucesión de Fibonacci".

Definición de sección áurea:

   En geometría la sección áurea, del latín sectio aurea, es la proporción que aparece al dividir una recta en dos segmentos a y b (a más largo que b) por un punto f, de manera que el segmento mayor a es a b lo que la longitud total de la recta (a+b) es a a:

   La aplicación más habitual de la sección áurea a una pieza musical es la de buscar un punto culminante, el clímax de la pieza, justo en el punto en el que se situaría el número áureo con respecto a la duración total de la pieza. De esta manera, si por ejemplo tenemos una obra que dura 4 minutos (240 segundos) y sabemos que la sección más larga debe corresponder al 61,8% de la duración total – el 38,2% restante es para la sección más corta-, el punto Phi lo situaríamos en el segundo 148,32. Por tanto, el momento culminante quedaría en el minuto 2 y 47 segundos.

Compositores y usos de Phi:

   Sean o no ciertas las propiedades mágicas que se le atribuyen a este número en la música, lo cierto es que las especulaciones de su uso casi ocultista y mitológico van desde obras de la época barroca hasta músicos de rock progresivo del siglo XXI como Tool en su disco Lateralus y en el "In Rainbows" de Radiohead, y también se comenta su aparición en la construcción de violines y en la disposición de las teclas de los pianos. 

   Famosos son los casos de Mozart, gran aficionado a las matemáticas, Bach y en especial Béla Bártok, cuyo uso de la sucesión y Phi es tan extenso que parece poco probable la casualidad. Sin embargo ninguno de ellos dejó escritos al respecto y no hay constancia de que supiesen de qué se trataba. Además, los tres eran absolutos genios, y es probable que la armonía inherente al número áureo aparezca como resultado del exquisito gusto y el gran conocimiento musical que tenían estos tres compositores.

   En el caso de la 5º Sínfonía, su uso es a menudo achacado a la casualidad. Lo más probable es que el caso de Beethoven sea similar a los discutidos en el párrafo anterior. 

   Los intervalos de 2m (1), 2M (2), 3m (3), 4J (5) y 6m (8) tienen un uso extensivo en toda la obra y el famoso motivo principal aparece también en compases pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El címax de la obra se encuentra además en el antes mencionado 61,8%.
  
   En cualquier caso, la controversia al respecto continúa y el debate sigue abierto, y con gran seguridad nunca se llegue a explicar del todo la influencia de este número en la música, por lo que sólo nos queda disfrutar de ella y entretenernos con estas investigaciones.
  

 

 

Prueba 1

De antemano me disculpo, pues creo que algunos ejercicios no se ven muy bien, causa de una nueva herramienta que uso para escanear textos desde el móvil.

 
 

La escítala espartana

   "Aaooe tptl mMiaevpaacs irstaireo esóenbdmansdleáa".

     El objetivo de este problema era el de hallar el significado original de este texto cifrado según el método de la escítala espartana. Este método antiguo, uno de los primeros sistemas de cifrado que se conocen, consiste en escribir un mensaje en una tira de pergamino enrollado alrededor de una vara (escítala) en horizontal. Al desenrollar el pergamino, queda el mensaje cifrado. Para poder descifrar el mensaje, hace falta conocer el diámetro de la vara. Este método puede ser también representado por un tabla con filas y columnas.
     El mensaje se descifra si lo escribimos de arriba a abajo y de derecha a izquierda, respetando los espacios en una tabla de siete por siete, es decir, que las letras contiguas de las palabras están en el texto cifrado separadas por siete espacios y por lo tanto queda así:

"Apasiónate resolviendo problemas de Matemáticas".

Primera clase

     Da comienzo un nuevo curso escolar y con él lo hace uno de matemáticas, con sus nuevas propuestas y retos. Siendo como es el segundo curso en que me da clase este profesor, no me son extraños sus métodos ni sus herramientas, aunque he podido apreciar una cierta evolución en las mismas. De manera general comienzo este curso con bastantes ganas y motivación, por lo que me siento más que preparado para superarlo y dar el máximo.