Evaluación en caliente del examen de derivadas

Puedo afirmar que la primera prueba evaluable con contenido de derivadas no ha ido especialmente bien, sobre todo teniendo en cuenta la naturaleza tan mecánica de esta fundamental herramienta de la asignatura; las derivadas solo pueden estar bien al completo o enteramente mal, no hay grises ni medias tintas. Tengo en consideración, no obstante, a las derivadas por no ser especialmente complejas ni abstractas y por ser fácilmente solucionables por esa anteriormente mencionada cualidad de ser mecánicas y repetitivas. Es por esto último que el factor determinante para tener éxito en la resolución de derivadas, así como en tantos y tantos campos del saber, y en especial, de las matemáticas, es la práctica y la repetición incansable de ejercicios, una y otra vez hasta que los mecanismos necesarios sean interiorizados y pasen a ser poco más que reflejos involuntarios del estudiante aplicado y gustoso de las matemáticas. El problema; el error, siendo más preciso en este aspecto, parece haber sido descubierto; entiendo fácilmente los conceptos propios de las derivadas y se en mayor o menor medida usarlos de forma resolutiva, pero la eficacia, la agilidad y la precisión necesarias, así como ciertos rudimentos y costumbres que se refinan con el tiempo y que suponen en su conjunto el saber derivar, de nuevo sin grises ni medias tintas, no están todavía bajo mi control y no puedo por ello considerar que derivo con fluidez. Falta práctica, pero llegaré.

Corrección del examen del pasado día 6

Límites vacilones o la magia del cero

    El vídeo comienza con una aclaración evidente y necesaria; el tema que se va a tratar de manera más precisa. ¿Por qué un número dividido entre cero da infinito? ¿Cúanto es cero entre cero?
    El primer concepto que toca es el de la división, clave para entender las preguntas previamente lanzadas, apartando la naturaleza fraccionaria que generalmente asociamos a ellas y centrándose en una de sus más básicas propiedades. Siendo una división a/b=c, podemos decir que c·b=a. De este modo, 1/2=0´5, y 2·0´5=1, al igual que 1/1=1 y 1·1=1. Si probamos a dividir 1 entre 1/2 comprobaremos que da 2 y empezaremos a ver la tendencia que siguen los resultados de dividir 1 (o cualquier otro número) entre números cada vez más pequeños. Según los denominadores se van haciendo más pequeños, los resultados se van haciendo más grandes. Si asumimos que el cero es el límite de los números que establecemos como denominadores, veremos que el límite de los resultado es infinito. Esta es la explicación que da de por qué un número dividido entre cero "da" infinito. Tenemos que tener en cuenta que el cero es un número (si puede ser llamado de esta forma) muy particular y que infinito ni siquiera es un número, es la expresión de un límite.
    Tras esto, la pregunta que se presenta ahora es la de cúanto da cero dividido entre cero. Por un lado, se acaba de demostrar de una manera razonablemente sólida que un número dividido entre cero da como resultado infinito, sin embargo, si nos remitimos a la propiedad de la división que irónicamente daba comienzo a esta explicación, podemos argumentar que cumpliendo que a/b=c y c·b=a cero entre cualquier número es, de hecho, cero. ¿Acaso pueden confluir estas dos soluciones al mismo tiempo? Una de las respuestas posibles es la de que 0/0 es una indeterminación. Nuestro aguerrido y matemático youtuber, no obstante, nos proporciona una solución más elaborada y compleja para contestar a esta pregunta. Para esto nos plantea imaginar a ambos ceros de la división como límites. En este momento introduce el concepto de las aplicaciones, más concretamente el de una sucesión de números cada vez más pequeños (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...) que ocupan el lugar del denominador y otra del mismo tipo (1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25...) que lo hace en el numerador. Si dividimos los elementos de estas dos sucesiones hayamos de nuevo que los resultados se van haciendo más y más pequeños, por lo que podemos llegar a la conclusión de que la división en ambos límites (0/0) no puede dar nada más que cero. Aparentemente el caso queda zanjado; cero entre cero es cero y no hay nada más que decir. Sin embargo, se nos plantea probar a dividir los términos de las sucesiones a la inversa, es decir, cambiarlos de lugar y poner los denominadores en los numeradores y los numeradores en los denominadores [osea, dividimos la sucesión (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5) entre (1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25)]. Observamos que los resultados ahora se van haciendo más grandes (1, 2, 3, 4, 5), lo que nos empuja a pensar que entonces ambas afirmaciones son ciertas; cero entre cero es a la vez infinito y cero. Si probamos a dividir otra sucesión (2, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5) entre la anteriormente utilizada (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5) comprobamos que siempre da 2, por lo que en el límite, cero partido por cero es también dos. Sorprendente, sin duda. No solo cero entre cero es cero e infinito a la vez, si no que, dividiendo los términos de ciertas sucesiones como hemos visto antes, podemos conseguir cualquier número como resultado para 0/0. Un gran desenlace para una gran travesía por los océanos matemáticos.









Voy a tratar de empezar a subir entradas a horas menos absurdas xd.

Historia de los logaritmos

    Los logaritmos fueron descubiertos y desarrollados entre los siglos XVI y XVII con el propósito de simplificar las engorrosas operaciones de números con muchas cifras que los astrónomos necesitaban realizar. La primera propuesta de uso de los logaritmos para el cálculo fue planteada por el escocés John Napier en 1614, en su libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. El crédito por el descubrimiento de los logaritmos como herramienta matemática útil debería pertenecer en realidad al suizo Joost Bürgi, sin embargo, puesto que Napier publicó su trabajo antes, se le atribuye el mérito del hallazgo.

    Durante la época del Giro Copernicano, comenzó a extenderse el uso de "tablas" logarítmicas entre los matemáticos, que se apoyaban en ellas para simplificar sus cálculos. Estas tablas eran en realidad extensos libros en los que se detallaban una por una las relaciones entre los elementos participantes en operaciones útiles para el cálculo con logaritmos. Este método se utilizó hasta la aparición y popularización de las calculadoras, por lo que está ahora en profundo desuso. En la actualidad, los logaritmos son utilizados sobre todo y de manera extensiva en las distintas ramas de la matemática financiera.


 
John Napier (1550-1617), principal impulsor del uso de los logaritmos 
 y padre de los logaritmos neperianos.

Problema de los plátanos, los relojes y los hexágonos

     Este problema puede ser encontrado en la séptima diapositiva de la presentación principal. Se trata del clásico problema de razonamiento y atención representado de una manera muy gráfica. En el primer caso, nos encontramos con la suma de tres hexágonos idénticos cuyo resultado es 45. Cada hexágono tiene inscritos un pentágono y un cuadrado. Deducimos entonces que el valor de cada hexágono es 15. En el segundo caso, la suma de dos ristras de 4 platános y un hexágono como los del anterior caso da 23. Sabiendo que el hexágono vale 15, sabemos que cada ristra de plátanos tiene entonces un valor de 4. En el tercer ejemplo, la ristra de plátanos más dos relojes idénticos da diez. Por lo tanto cada reloj vale 3, que coincide casualmente con la hora que dan los mismos. Sabiendo todo esto, nos encontramos con el último caso. Se trata de la suma de un reloj más dos ristras de plátanos por un hexágono. Tienen sin embargo ciertas variaciones. La hora del reloj es las dos en punto, por lo que le damos ese valor precisamente al reloj. En el caso de los plátanos, la ristra contiene ahora sólo tres plátanos, en vez de los cuatro que le atribuían dicho valor, por esto sabemos que los plátanos valen ahora tres. En último lugar, recordamos las figuras inscritas en el hexágono: un cuadrado y un pentágono. Si sumamos los lados del cuadrado, el pentágono y el hexágono, el resultado es 15, exactamente el valor numérico que le atribuíamos al principio. En el caso del hexágono de la última operación, solo tiene inscrito un pentágono, por lo que la suma de los lados de ambos polígonos es de once. Con todos estos datos y aplicando la jerarquía de las operaciones, hallamos un resultado final de 38.

Examen completo

Evaluación en caliente

   Tras haber realizado el examen del pasado miércoles y haber dispuesto un breve tiempo para reflexionar, procedo a comentar y analizar brevemente cada uno de los ejercicios de la ya mencionada prueba.
   Las preguntas teóricas del primer ejercicio fueron las primeras en ser confrontadas, pues sus enunciados, al igual que sus respuestas, aparentaban ser concisas y claras. Decidimos realizar a continuación las otras dos preguntas de este ejercicio (ambas de tipo práctico), sin embargo, en el fragor de la batalla decidimos, frente a la realidad de los escasos frutos que nuestro trabajo estaba dando, dejarlos para más tarde. En el segundo ejercicio, en un acto cargado de frustración, dejamos sin hacer el primer apartado, a pesar de reconocer que era en realidad un tipo de ejercicio asequible que sabíamos, de hecho, hacer. Fuimos, no obstante, capaces de contestar al segundo apartado de una manera más provechosa. En el tercer ejercicio, resolvimos fácilmente el primer apartado, aunque debido a presión incipiente que sentíamos por la falta de tiempo no continuamos con los siguientes apartados. Resolvimos el cuarto ejercicio de manera rápida y mordaz, por lo que me resulta difícil augurar si el resultado obtenido fue el correcto. El sexto ejercicio se presentaba como el más desafiante, lo que no impidió que nos enfrentaramos, de manera sistemática y paciente a él. Todo este esfuerzo parece, visto ahora en retrospectiva, agridulce, pues el buen planteamiento y entendimiento del problema planteado derivó en última instancia en un resultado incorrecto, probablemente fruto de un error en la operativa básica. El resto de la prueba se completó a medias y a trozos, en el mejor de los casos. Es evidente que debemos mejorar ampliamente en la preparación de los exámenes de la asignatura, en especial en el ámbito de la comunicación y la compenetración dentro de la pareja. Concluyo por ello que las sensaciones posteriores al examen son bastante pesimistas, y con razón.